Разбор задач
Задача 1
Условие:
В коробке лежат 100 красных, 100 синих, 100 зелёных, 100 фиолетовых карандашей. Сколько карандашей нужно достать вслепую, чтобы среди них гарантированно были хотя бы один красный и один фиолетовый?
Разбор решения:
Здесь важно слово “гарантированно”. Значит, мы должны рассмотреть самый “неудачный” сценарий — как будто судьба специально мешает нам получить нужные цвета.
Нам нужны два конкретных цвета: красный и фиолетовый. Представим, что мы как можно дольше не получаем красный. Тогда мы можем вытянуть все карандаши остальных цветов:
- синие: 100
- зелёные: 100
- фиолетовые: 100
Итого 300 карандашей, среди них фиолетовые есть, а красных — ни одного.
Что дальше? Следующий, 301-й, карандаш уже не может быть ни синим, ни зелёным, ни фиолетовым (они “закончились” в худшем сценарии). Значит, он будет красным. И тогда у нас точно будут и красный, и фиолетовый.
Точно так же можно рассуждать наоборот: вытянуть 300 без фиолетового, а 301-й будет фиолетовым. В любом случае граница одна и та же.
Ответ: 301
Задача 2
Условие:
Два человека одновременно вышли из одной точки и пошли к одному и тому же месту по прямой дороге. Первый идёт со скоростью 3 м/с, второй — 2 м/с. Расстояние 180 м. Первый дошёл раньше и ждёт второго. Сколько секунд он будет ждать?
Разбор решения:
Сначала считаем, сколько времени идёт каждый.
Время = расстояние / скорость.
-
Первый: ( 180 / 3 = 60 ) секунд
-
Второй: ( 180 / 2 = 90 ) секунд
Первый пришёл на 60-й секунде, второй на 90-й. Значит, ожидание — это разница:
( 90 - 60 = 30 ) секунд.
Ответ: 30
Задача 3
Условие:
На складе 24 ящика. Часть ящиков весит 3 кг, остальные — 5 кг. Известно, что суммарный вес всех 3-кг ящиков равен суммарному весу всех 5-кг ящиков. Сколько ящиков по 3 кг?
Разбор решения:
Обозначим:
- ( x ) — число ящиков по 3 кг
- тогда ( 24 - x ) — число ящиков по 5 кг
По условию суммарные веса равны: ( 3x = 5(24 - x) )
Раскроем скобки: ( 3x = 120 - 5x )
Переносим ( -5x ) влево:
( 3x + 5x = 120 )
( 8x = 120 )
( x = 15 )
Значит, 15 ящиков по 3 кг (и 9 ящиков по 5 кг — для проверки: 15·3 = 45, 9·5 = 45).
Ответ: 15
Задача 4
Условие:
В компании 7 человек, средний возраст — 284 года. Потом пришёл 8-й человек, и средний возраст стал 250,25 года. Возраст считается только в полных годах. Сколько лет новому человеку?
Разбор решения
Средний возраст — это: сумма возрастов / количество людей
1) Найдём суммарный возраст 7 человек
7 × 284 = 1988
Значит, суммарный возраст первых семи человек — 1988 лет.
2) Найдём суммарный возраст 8 человек
8 × 250,25
Разложим число:
250,25 = 250 + 0,25
Теперь считаем:
250 × 8 = 2000
0,25 × 8 = 2
Складываем:
2000 + 2 = 2002
Значит, суммарный возраст всех восьми человек — 2002 года.
3) Найдём возраст нового человека
2002 − 1988 = 14
Ответ: 14
Задача 5
Условие:
Два поезда выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов. Расстояние 360 км. Скорость первого на 20 км/ч больше скорости второго. Через 3 часа они встретились. Найдите скорость более быстрого поезда.
Разбор решения:
Если они встретились через 3 часа, значит вместе за 3 часа они “закрыли” 360 км.
То есть их суммарная скорость:
( 360 / 3 = 120 ) км/ч
Обозначим скорость более медленного поезда как ( v ). Тогда скорость быстрого — ( v + 20 ).
Сумма скоростей равна 120:
( v + (v + 20) = 120 )
( 2v + 20 = 120 )
( 2v = 100 )
( v = 50 )
Тогда быстрый поезд:
( 50 + 20 = 70 ) км/ч
Ответ: 70