Разбор задач

Задача 1

Условие:

1. Все креативные люди нестандартны.
2. Некоторые нестандартные люди успешны.
3. Ни один успешный человек не ленив.

Следует ли, что некоторые креативные люди не ленивы?

Разбор решения:
Переведём в “стрелочки”:

• Креативный → нестандартный.
• Существует кто-то: нестандартный ∧ успешный.
• Успешный → не ленив (это то же самое, что “ни один успешный не ленив”).

Нам нужно доказать существование: креативный ∧ не ленив.

Но “существует нестандартный успешный” не говорит, что этот человек креативный. Он может быть нестандартным, но не креативным (как бы странно это ни звучало в жизни — в логике это допустимо).

Можно построить ситуацию:

• есть креативные люди, но все они ленивы (логика не запрещает),
• есть один нестандартный успешный человек, который не ленив, но он не креативный,
• при этом “все креативные нестандартны” остаётся истинным.

Исходные утверждения истинны, а вывод “некоторые креативные не ленивы” — ложный.
Значит вывод не следует.

Ответ: нет

Задача 2

Условие:
Трое детей. Произведение возрастов = 36. Сумма = номер офиса Игоря.
Игорь говорит: “мне недостаточно информации” (то есть по сумме нельзя однозначно восстановить).
Потом Сергей говорит: “вон идёт мой старший сын” (то есть старший один, не двое). После этого Игорь смог определить возраста.

Разбор решения:

1) Выпишем все тройки натуральных возрастов с произведением 36

(в порядке неубывания)

1. 1, 1, 36 (сумма 38)
2. 1, 2, 18 (сумма 21)
3. 1, 3, 12 (сумма 16)
4. 1, 4, 9 (сумма 14)
5. 1, 6, 6 (сумма 13)
6. 2, 2, 9 (сумма 13)
7. 2, 3, 6 (сумма 11)
8. 3, 3, 4 (сумма 10)

2) Что значит “мне всё ещё недостаточно информации”?

Это значит: зная сумму (номер офиса), Игорь видит, что есть минимум две разные тройки с такой же суммой.

Смотрим на суммы: только сумма 13 повторяется дважды:

• 1, 6, 6
• 2, 2, 9

Значит номер офиса Игоря = 13.

3) Зачем фраза про “старшего сына”?

Если тройка была бы 1,6,6 — старших двое (6 и 6), “старший сын” звучит странно (старший не один).
А в тройке 2,2,9 старший один — 9.

Поэтому Игорь делает вывод: 2, 2, 9.

Ответ: 2, 2, 9

Задача 3

Условие:
Есть дети, и про них известно:

• |Капуста| = 7
• |Морковь| = 6
• |Горох| = 5
• |Капуста ∩ Морковь| = 4
• |Капуста ∩ Горох| = 3
• |Морковь ∩ Горох| = 2
• |Капуста ∩ Морковь ∩ Горох| = 1

Найти общее число детей.

Разбор решения:
Это классика на включения-исключения:

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A∩B| − |A∩C| − |B∩C| + |A∩B∩C|

Подставляем:

= 7 + 6 + 5 − 4 − 3 − 2 + 1
= 18 − 9 + 1
= 10

Ответ: 10

Задача 4

Условие:
Какое минимальное число людей нужно, чтобы вероятность совпадения дней рождения хотя бы у двоих была ≥ 50% (365 дней, равновероятно, независимы)?

Разбор решения (идея):
Проще считать наоборот: вероятность того, что все дни рождения разные, и вычесть из 1.

Вероятность, что все разные у n человек:

P(все разные) = 365/365 × 364/365 × 363/365 × … × (365 − n + 1)/365

Ищем минимальное n, при котором:

1 − P(все разные) ≥ 0.5
то есть P(все разные) ≤ 0.5

Из известного результата “парадокса дней рождения”: при n = 23 вероятность совпадения уже чуть больше 50%.

Поэтому минимальное n = 23.

Ответ: 23

Задача 5

Условие:
10 человек стоят в ряд. Каждый видит кепки впереди. Спрашивают с последнего.
Можно заранее договориться о стратегии. Сколько максимум правильных ответов можно гарантировать?

Разбор решения:
Стандартная стратегия — “паритет” (чётность).

Договор: последний в ряду (который видит 9 кепок) объявляет не цвет “как угадаю”, а бит информации:

• “Чёрная” означает: “число чёрных кепок впереди — чётное”
• “Белая” означает: “число чёрных кепок впереди — нечётное”
  (или наоборот — неважно, главное договориться)

Что это даёт?

• Первый отвечающий (самый последний) может ошибиться, потому что он не видит свою кепку. Он просто сообщает паритет.
• Зато каждый следующий, слыша ответы и видя кепки впереди, может вычислить свою кепку так, чтобы сохранялась обещанная чётность.

Итог:

• 1 человек (самый последний) — под вопросом,
• остальные 9 — определяют точно.

Ответ: 9