Разбор задач

Задача 1

Условие:
Есть 2 устройства, каждое обрабатывает одновременно только 1 диск. Нужно обработать 3 диска. У каждого диска 2 этапа (две стороны), каждый этап — 1 минута. Найти минимальное время.

Разбор решения:
Всего нужно выполнить 6 “минутных операций”: у 3 дисков по 2 стороны. При этом одновременно можно делать максимум 2 операции в минуту (потому что 2 устройства).

Значит, чисто по “пропускной способности” быстрее чем за: 6 операций / 2 устройства =3 минуты нельзя.

Осталось понять: можно ли уложиться ровно в 3? Да, можно — вот расписание:

1-я минута: диск 1 (сторона 1), диск 2 (сторона 1)
2-я минута: диск 1 (сторона 2), диск 3 (сторона 1)
3-я минута: диск 2 (сторона 2), диск 3 (сторона 2)

Все стороны обработаны, просто “перекладываем” диски между устройствами.

Ответ: 3

Задача 2

Условие:
Есть несколько контейнеров. В одном — бракованные детали, которые отличаются по массе от качественных на известную величину (например, +2 г или −2 г). Есть точные весы. За одно взвешивание можно положить любые детали из любых контейнеров. Сколько взвешиваний нужно гарантированно, чтобы найти бракованный контейнер?

Разбор решения:
Достаточно одного взвешивания — идея такая:

Нумеруем контейнеры: 1, 2, 3, …, N.
Берём из 1-го контейнера 1 деталь, из 2-го — 2 детали, из 3-го — 3 детали и т.д.
Взвешиваем всё вместе.

Если бы все детали были качественные, вес был бы “эталонный” (мы его можем посчитать, потому что масса качественной детали известна/измеряема заранее).

Но один контейнер даёт систематическую прибавку или убавку: если брак в контейнере k, то в сумме окажется k деталей с ошибкой, значит отклонение веса будет ровно: k × (известная разница по массе)

По величине отклонения сразу понимаем, какой номер контейнера “сломанный”.

Ответ: 1

Задача 3

Условие:
В коробке 100 красных, 100 синих, 100 зелёных, 100 фиолетовых. Достаём без возвращения. Сколько нужно достать, чтобы вероятность получить хотя бы 1 красный и хотя бы 1 фиолетовый была ≥ 50%?

Разбор решения:
Удобнее считать наоборот: когда условие не выполнено.

Условие “не выполнено” означает хотя бы одно из двух:

нет красных, или
нет фиолетовых.

А ещё есть пересечение: нет красных и нет фиолетовых одновременно (то есть попались только синие и зелёные).

Обозначим n — сколько достаём. Тогда:

P(есть и красный, и фиолетовый) = 1 − P(нет красных) − P(нет фиолетовых) + P(нет ни красных, ни фиолетовых)

Теперь подставляем количества:

“нет красных” → выбираем все n из 300 некрасных (синие+зелёные+фиолетовые)
“нет фиолетовых” → тоже из 300
“нет ни красных, ни фиолетовых” → выбираем из 200 (синие+зелёные)
всего карандашей 400

То есть через сочетания:

P(нет красных) = C(300, n) / C(400, n)
P(нет фиолетовых) = C(300, n) / C(400, n)
P(нет ни красных, ни фиолетовых) = C(200, n) / C(400, n)

Проверка показывает:

при n = 4 вероятность ещё меньше 50%
при n = 5 вероятность уже больше 50% (примерно 0.56)

Значит минимальное n — 5.

Ответ: 5

Задача 4

Условие:
Сначала дали 5 патронов. За каждое попадание сразу дают ещё 2 патрона. Всего сделано 17 выстрелов. Какое минимальное число попаданий могло быть?

Разбор решения:
Пусть попаданий было (h).

Тогда всего патронов, которые у него “появилось” за всё время:

стартовые 5
плюс за попадания: (2h)

Итого: (5 + 2h).

Каждый выстрел тратит 1 патрон, а он стрелял до тех пор, пока патроны не закончились. Значит, в конце патронов осталось 0, то есть: 5 + 2h = 17

Решаем: 2h = 12 => h = 6

И это действительно минимум, потому что меньше 6 попаданий просто не даст достаточного количества патронов, чтобы сделать 17 выстрелов.

Ответ: 6

Задача 5

Условие:
Кубик полностью покрасили, потратили 4 г краски. Потом распилили на 8 одинаковых маленьких кубиков (то есть 2×2×2). Сколько краски нужно, чтобы покрасить все новые поверхности, появившиеся после распила?

Разбор решения:
Краска расходуется пропорционально площади поверхности.

У большого куба площадь поверхности — (S). На неё ушло 4 г.
После распила получаем 8 маленьких кубиков. Их ребро в 2 раза меньше, значит площадь одного маленького куба в 4 раза меньше, чем у большого (площадь масштабируется по квадрату).

То есть площадь одного маленького куба: (S/4).
А всего маленьких кубов 8, значит суммарная площадь всех поверхностей маленьких кубов: 8 * (S / 4) = 2S

То есть общая площадь поверхности стала в 2 раза больше.

Но “старой покрашенной” поверхности было ровно (S) (наружная поверхность большого куба). Она никуда не делась — эти внешние части у маленьких кубиков уже окрашены.

Значит новая, ранее неокрашенная площадь: 2S - S = S

То есть она ровно такая же, как площадь исходного куба.
А раз на площадь (S) уходило 4 г, то и сейчас нужно 4 г.

Ответ: 4