Разбор задач

Задача 1

Условие:
4 → 61
5 → 52
6 → 63
7 → 94
8 → 46
Найти код для 9.

Разбор решения

Заметим закономерность: справа стоит квадрат числа слева, но записанный с переставленными местами цифрами.

Проверим на примерах:

• 4² = 16 → переставили цифры → 61
• 5² = 25 → переставили → 52
• 6² = 36 → переставили → 63
• 7² = 49 → переставили → 94
• 8² = 64 → переставили → 46

Теперь для 9:

• 9² = 81
• переставляем цифры местами → 18

Ответ: 18

Задача 2

Условие:
В комнате — 3 светильника. Снаружи — 3 переключателя. Каждый переключатель управляет ровно одним светильником.
Войти в комнату можно только один раз. До входа можно щёлкать переключатели сколько угодно.
Нужно найти минимальное число переключений, чтобы после входа однозначно понять соответствие.

Разбор решения

Если лампы обычные (накаливания), у нас есть дополнительный “признак” — температура.

После входа у лампы могут быть разные состояния:

• горит (это видно),
• выключена, но тёплая (значит её недавно включали),
• выключена и холодная (её не включали вообще).

Эти три состояния — как три разные метки, а нам как раз нужно различить три лампы.

Почему меньше 3 переключений не хватит

Если сделать только 1–2 переключения, то максимум, что можно “пометить” — это 1–2 лампы.
Третья лампа останется “как была”, и в итоге после входа у двух ламп может оказаться одинаковое состояние, а значит соответствие будет не однозначным.

Чтобы гарантированно отличить все три лампы, нужно, чтобы каждая из них попала в своё уникальное состояние:
одна горит, одна тёплая но не горит, одна холодная и не горит.

Для этого неизбежно требуется минимум 3 действия.

Стратегия на 3 переключения

1. Включаем переключатель №1 и ждём немного, чтобы лампа успела нагреться.

2. Выключаем переключатель №1.
   Теперь одна лампа будет выключена, но тёплая.

3. Включаем переключатель №2 и оставляем включённым до входа.
   Теперь другая лампа будет гореть.
   Переключатель №3 не трогаем — его лампа останется выключенной и холодной.

Что увидим после входа

• лампа горит → это переключатель №2
• лампа выключена, но тёплая → это переключатель №1
• лампа выключена и холодная → это переключатель №3

Соответствие найдено однозначно.

Ответ: 3

Задача 3

Условие:
100 монет. 10 лежат решкой вверх, 90 орлом. Вы не знаете какие.
Можно разделить на две группы и перевернуть любые монеты.
Нужно добиться, чтобы в обеих группах было одинаковое число решек.
Сколько монет положить в первую группу?

Разбор решения:
Самая красивая идея: “вынести” неизвестные решки в одну маленькую группу и перевернуть её целиком.

1. Положим в первую группу 10 монет (любые, наугад).
2. Остальные 90 — во вторую группу.
3. Теперь перевернём все 10 монет из первой группы.

Почему это работает?

Пусть среди выбранных 10 монет было x решек (мы не знаем x).
Тогда среди оставшихся 90 монет решек было 10 − x.

После переворота в первой группе:

• те x решек станут орлами,
• а остальные (10 − x) орлов станут решками.

Значит решек в первой группе станет 10 − x, то есть ровно столько же, сколько и во второй группе.

Ответ: 10

Задача 4

Условие:
Некоторые инженеры — руководители.
Все руководители принимают решения.
Некоторые принимающие решения ошибаются.

Следует ли, что некоторые инженеры ошибаются?

Разбор решения:
Разложим по смыслу:

1. Есть хотя бы один человек, который и инженер, и руководитель.
2. Любой руководитель → принимает решения. Значит этот инженер-руководитель принимает решения.
3. Но “некоторые принимающие решения ошибаются” означает лишь, что где-то существует хотя бы один ошибающийся среди принимающих решения.

И вот ключевой момент: этот ошибающийся человек не обязан быть инженером. Он может быть, например, менеджером-руководителем, аналитиком, кем угодно, кто принимает решения.

Можно построить ситуацию:

• есть инженер-руководитель, он принимает решения, но никогда не ошибается;
• и есть другой руководитель (не инженер), который принимает решения и ошибается.

Все исходные утверждения истинны, а вывод “некоторые инженеры ошибаются” — ложный.
Значит вывод не следует.

Ответ: нет

Задача 5

Условие:
Только те, кто сдал экзамен, получают сертификат.
Некоторые сотрудники не получили сертификат.

Можно ли сделать вывод, что они не сдавали экзамен?

Разбор решения:
Фраза “только те, кто сдал экзамен, получают сертификат” означает:

Если есть сертификат → экзамен сдан.

Это не означает обратного “если сдал экзамен → получил сертификат”.
Мог сдать, но:

• не оформил,
• не пришёл забрать,
• потерял,
• сертификаты выдают позже и т.п.

Нам сказали: “некоторые не получили сертификат”.
Из этого нельзя сделать вывод “они точно не сдавали”. Они могли сдавать и даже сдать — просто сертификат не получили.

Ответ: нет