Разбор задач

Задача 1

Условие:
Слово «МОЛОКО» (6 букв). Нужно посчитать, сколько разных перестановок можно составить, используя все буквы ровно в тех же количествах.

Разбор решения:
Запишем, какие буквы и сколько раз встречаются:

• М — 1 раз
• О — 3 раза
• Л — 1 раз
• К — 1 раз

Если бы все 6 букв были разными, вариантов было бы 6! = 720.
Но буква О повторяется 3 раза, а перестановки одинаковых букв не создают новых слов — их нужно “сжать”.

Поэтому делим на 3! (сколько способов переставить три одинаковые О между собой — это не меняет слово):

Количество разных слов = 6! / 3!
= 720 / 6
= 120

Ответ: 120

Задача 2

Условие:
3 контейнера: A, B, и смесь A+B. Наклейки “A”, “B”, “A+B” — но все три наклеены неправильно. Можно взять одну пробу и узнать, A это или B. Сколько проб нужно?

Разбор решения:
Главная идея: контейнер с наклейкой “A+B” не может быть смесью, потому что все наклейки неверные.
Значит этот контейнер на самом деле содержит чистое A или чистое B.

Берём одну пробу именно из контейнера “A+B”:

• Если проба показала A, значит этот контейнер — A.
  Тогда остаются два контейнера с неправильными наклейками “A” и “B”.
  Контейнер с наклейкой “A” не может быть A. Так же если контейнер с наклейкой “A” фактически (A+B), то в контейнере с надписью "B" будет "B", а это противоречит условию.
  Остается только один вариант. В контейнере с надписью "А" фактически "B", а в контейнере с надписью "B" будет храниться смесь A и B. 

• Если проба показала B, аналогично: контейнер “A+B” на самом деле B.
  Тогда контейнер с наклейкой “B” не может быть B → значит A.
  А контейнер с наклейкой “A” остаётся смесь A и B.

В обоих случаях одной пробы достаточно, чтобы восстановить всё.

Ответ: 1

Задача 3

Условие:
3 робота стоят в вершинах равностороннего треугольника. Каждый выбирает одну из двух соседних вершин (случайно, 50/50) и едет вдоль стороны. Вероятность, что ни один не столкнётся?

Разбор решения:
Всего у каждого робота 2 выбора, значит всего сценариев: 2 × 2 × 2 = 8 равновероятных вариантов.

Столкновения происходят, если два робота поедут навстречу друг другу по одной и той же стороне (то есть выберут друг друга).

Когда столкновений не будет?
Только если все трое поедут “по кругу” в одном направлении:

• все по часовой стрелке
• или все против часовой стрелки

Это ровно 2 безопасных сценария из 8.

Значит вероятность: 2 / 8 = 1 / 4 = 0,25 = 25%

Ответ: 25

Задача 4

Условие:
3 чемодана и 3 ключа, каждый ключ подходит ровно к одному. Одна попытка = попробовать один ключ в одном замке. Минимум попыток, чтобы гарантированно понять соответствие?

Разбор решения:
Есть хорошая стратегия на 3 попытки.

Обозначим чемоданы: A, B, C.
Ключи: 1, 2, 3.

1. Пробуем ключ 1 в чемодан A.

• Если открылся — значит 1 → A.
  Тогда остаются 2 ключа и 2 чемодана.
  Дальше максимум 2 попытки: пробуем ключ 2 в чемодан B.

  • открылся → 2→B, 3→C
  • нет → 2→C, 3→B
    Итого 2 попытки после первой, всего 3.

• Если не открылся — значит ключ 1 не подходит к A.
  Тогда пробуем ключ 1 в чемодан B (это 2-я попытка).

  • Если открылся → 1→B
  • Если не открылся → значит 1→C (потому что A и B исключили)

После этого соответствие для ключа 1 известно.
Остаются два ключа и два чемодана → ещё одна попытка достаточно, чтобы различить их (как выше).

В любом сценарии получается не более 3 попыток, и меньше нельзя (информации недостаточно, чтобы гарантировать).

Ответ: 3

Задача 5

Условие:
Верёвка вокруг Земли по экватору. Её удлинили на 10 м и натянули равномерно, появился одинаковый зазор. Может ли взрослый пролезть?

Разбор решения:
Самое неожиданное тут: зазор не зависит от размера Земли.

Длина окружности: L = 2πR

Если длину увеличить на 10, получим:

2π(R + ΔR) = 2πR + 10

Вычитаем 2πR:

2πΔR = 10

ΔR = 10 / (2π) = 5 / π ≈ 1,59 м

То есть верёвка поднимется над поверхностью примерно на 1,6 метра по всей окружности.

Это больше, чем нужно, чтобы пролез человек (и даже пройти пригнувшись не придётся).

Ответ: да