Разбор задач
Задача 1
Условие:
Считаем числа от 1 до 999. Нужно найти, сколько из них:
- делятся на 3 или на 5,
- но не делятся одновременно на 3 и на 5 (то есть не делятся на 15).
Разбор решения:
Это задача на принцип включений-исключений, только с “вычитанием пересечения”.
-
Сколько чисел делятся на 3?
999 / 3 = 333 → 333 числа. -
Сколько чисел делятся на 5?
999 / 5 = 199 (потому что 5×199 = 995) → 199 чисел. -
Сколько чисел делятся на 15 (то есть одновременно на 3 и на 5)?
999 / 15 = 66 (15×66 = 990) → 66 чисел.
Теперь:
- “делятся на 3 или на 5” = 333 + 199 − 66 = 466
- но нам нужно исключить те, кто делится на 15, то есть убрать их из ответа полностью: 466 − 66 = 400
Ответ: 400
Задача 2
Условие:
Есть 9 деталей, одна легче. Чашечные весы без гирь (только сравнение). Нужно минимальное число взвешиваний, чтобы гарантированно найти бракованную.
Разбор решения:
Классическая стратегия: делим на 3 группы.
1-е взвешивание
Разделим детали на 3 группы по 3 штуки: Группа A (3 детали), группа B (3 детали), группа C (3 детали).
Взвешиваем A против B.
Возможны варианты:
- A легче B → брак в группе A
- B легче A → брак в группе B
- равны → брак в группе C
После первого взвешивания мы точно знаем, в какой тройке искать.
2-е взвешивание
В найденной тройке берём 2 детали и взвешиваем их между собой:
- если одна легче — она бракованная
- если равны — бракованная третья
Итого хватает 2 взвешиваний, и меньше нельзя: за одно взвешивание слишком мало информации, чтобы различить 9 вариантов.
Ответ: 2
Задача 3
Условие:
Сколькими способами можно расставить 4 разных книги на полке, чтобы две конкретные книги не стояли рядом?
Разбор решения:
Назовём “запрещённые” книги A и B, а остальные — C и D.
- Всего расстановок 4 разных книг: 4! = 24.
- Посчитаем, сколько расстановок, где A и B стоят рядом (и потом вычтем). Если A и B рядом, считаем их как “блок” (AB).
Тогда у нас 3 объекта: (AB), C, D. Их можно переставить: 3! = 6.
Но внутри блока порядок может быть AB или BA — 2 варианта.
Значит “рядом” случаев: 6 × 2 = 12.
Тогда “не рядом”: 24 − 12 = 12.
Ответ: 12
Задача 4
Условие:
Найти наименьший угол между стрелками в 3:15.
Разбор решения:
Минутная стрелка в 15 минут стоит на “3”, то есть на 90° от 12 часов:
15 минут — это четверть круга → 360° / 4 = 90°.
Часовая стрелка в 3:00 стоит ровно на “3”, то есть тоже 90°.
Но к 3:15 она успела немного сдвинуться к “4”.
Часовая стрелка проходит 360° за 12 часов → 30° за час.
За 15 минут (это 1/4 часа) она проходит: 30° × 1/4 = 7.5°.
Значит часовая стрелка в 3:15 находится на: 90° + 7.5° = 97.5°.
Угол между стрелками: 97.5° − 90° = 7.5°.
Ответ: 7.5
Задача про детали трёх цветов
В коробке: 2 красные, 3 зелёные, 4 жёлтые. Достаём вслепую без возвращения.
Вопрос 1
Сколько нужно достать минимум, чтобы гарантированно получить две одного цвета?
Разбор решения:
Это принцип Дирихле: если цветов 3, то “без пары” можно взять максимум по 1 каждого цвета. То есть в худшем случае первые 3 детали будут: красная + зелёная + жёлтая (все разные).
Четвёртая деталь неизбежно совпадёт по цвету с одной из уже взятых (ведь цветов всего 3).
Ответ: 4
Вопрос 2
Нужно найти минимальное число деталей, которое нужно достать вслепую (без возвращения), чтобы гарантированно получить хотя бы три детали одного цвета.
Разбор решения:
Всегда думаем по принципу “самый неудачный случай”. Наша цель — понять, как можно дольше избегать появления трёх одинаковых деталей.
Чтобы не получить тройку одного цвета, можно взять максимум:
- красных — 2 (больше просто нет),
- зелёных — 2 (третья уже дала бы тройку),
- жёлтых — 2 (третья уже дала бы тройку).
То есть без появления тройки можно взять: 2 + 2 + 2 = 6 деталей.
И при этом ни одного цвета не будет три.
Теперь посмотрим, что произойдёт с 7-й деталью.
После того как мы вытащили 6 деталей в конфигурации (2 красных, 2 зелёных, 2 жёлтых), в коробке остаётся:
- 0 красных,
- 1 зелёная,
- 2 жёлтые.
Какая бы ни попалась 7-я деталь:
- если зелёная → станет 3 зелёные,
- если жёлтая → станет 3 жёлтые.
В обоих случаях появляется тройка одного цвета.
Значит уже на 7-й детали тройка гарантирована.
Ответ: 7