Разбор задач

Задача 1

Условие:
Двое принесли маффины: 12 и 9 штук. Третий не принёс, но заплатил 42 рубля “за свою долю”. Все трое съели одинаковое количество. Как разделить 42 рубля между теми, кто принёс маффины?

Разбор решения:
Всего маффинов: 12 + 9 = 21.

Ели трое поровну, значит каждому досталось: 21 / 3 = 7 маффинов.

Теперь смотрим, кто сколько “отдал” маффинов другим:

Первый принёс 12, сам съел 7 → отдал 5 маффинов.
Второй принёс 9, сам съел 7 → отдал 2 маффина.

Третий коллега съел свои 7 маффинов полностью “за счёт” первых двух. Значит его 42 рубля — это оплата ровно за 7 маффинов, которые ему дали, и делить эти деньги нужно пропорционально тому, кто сколько маффинов ему фактически “подарил”.

Первый дал 5, второй дал 2. Соотношение 5 : 2.
Тогда:

первому: 42 × 5/7 = 30
второму: 42 × 2/7 = 12

Ответ: 30, 12

Задача 2

Условие:
Деталь длиной 16 м едет по конвейеру через тоннель длиной 32 м. От момента, когда передний край вошёл в тоннель, до момента, когда задний край полностью вышел, проходит 18 минут. Рядом стоит неподвижный датчик. Сколько минут нужно, чтобы вся деталь полностью прошла мимо датчика?

Разбор решения:
Фраза “передний край вошёл” → “задний край вышел” означает, что деталь за это время прошла путь, равный:

длина тоннеля + длина детали = 32 + 16 = 48 метров.

Эти 48 метров она проходит за 18 минут, значит скорость:

48 м / 18 мин = 8/3 м/мин.

Теперь датчик — это точка. Чтобы “вся деталь прошла мимо датчика”, нужно, чтобы от момента, когда передний край дошёл до датчика, до момента, когда задний край его миновал, прошла длина детали — 16 м.

Время = 16 / (8/3) = 16 × 3/8 = 6 минут.

Ответ: 6

Задача 3

Условие:
За 12 месяцев: велосипед + 2600$. За 8 месяцев (ушёл раньше): тот же велосипед + 1000$. Деньги начисляются пропорционально времени, велосипед выдаётся целиком. Сколько стоил велосипед?

Разбор решения:
Пусть велосипед стоит X долларов.

Тогда “полная стоимость контракта” за 12 месяцев: X + 2600.

За 8 месяцев человек должен получить 8/12 от денежной части (и плюс велосипед целиком).
Но по факту он получил: X + 1000.

Значит денежная часть за 8 месяцев — это:

(8/12) × 2600 = (2/3) × 2600 = 1733,(3) — стоп, это было бы так, если бы 2600 была “чисто денежная часть без велосипеда”.
Но в условии: “должен был получить велосипед и 2600 долларов” — то есть 2600 — это уже именно деньги, не включая велосипед. Это важно.

Тогда логика другая: деньги начисляются пропорционально, значит за 8 месяцев денежная часть должна быть: 2600 × 8/12 = 2600 × 2/3 = 1733,(3)

Но ему выплатили 1000. Разница — это “компенсация велосипедом”, потому что велосипед дали целиком раньше, чем он “заработал” по времени.

То есть велосипед = недополученные деньги:

X = 1733,(3) − 1000 = 733,(3)

Получается дробь, а в ответе 2200 — значит мы неправильно интерпретировали условие: вероятнее всего весь пакет (велосипед + деньги) начисляется пропорционально, но велосипед выдают целиком, то есть при уходе пересчитывают так, будто часть пакета в деньгах заменили велосипедом.

Сделаем корректно через общую “стоимость пакета”:

Пусть общая стоимость годового контракта = X (велосипед) + 2600.

За 8 месяцев сотрудник “заработал” 8/12 этой общей стоимости:

(8/12) × (X + 2600) = (2/3)(X + 2600)

И это должно равняться тому, что он реально получил: X + 1000.

Составляем уравнение:

(2/3)(X + 2600) = X + 1000

Умножаем на 3:

2(X + 2600) = 3X + 3000
2X + 5200 = 3X + 3000
5200 − 3000 = X
X = 2200

Ответ: 2200

Задача 4

Условие:
Сколько нулей в конце числа 1×2×3×…×37?

Разбор решения:
Нули в конце появляются из множителей 10, а 10 = 2×5.
Двоек в произведении всегда намного больше, поэтому считаем только пятёрки.

Сколько раз число 5 встречается в разложении 37!:

кратные 5 дают по одной пятёрке: 5,10,15,20,25,30,35 → это 7 штук
но 25 содержит две пятёрки (25 = 5²), поэтому добавляем ещё одну пятёрку за кратные 25: 25 → +1

Итого пятёрок: 7 + 1 = 8.
Значит и нулей в конце тоже 8.

Ответ: 8

Задача 5

Условие:
Найти наименьшее натуральное число, которое даёт остатки:

при делении на 6 → 1
на 8 → 3
на 9 → 4

Разбор решения:
Запишем условия так, чтобы было видно “на сколько не дотягивает до кратного”:

n mod 6 = 1 → n = 6k + 1
n mod 8 = 3 → n = 8m + 3
n mod 9 = 4 → n = 9t + 4

Удобно искать перебором одного условия и проверять остальные, но “умно”.

Возьмём условие по 9:
n = 9t + 4 → числа: 4, 13, 22, 31, 40, 49, 58, 67, 76, …

Проверяем условие по 8 (остаток 3):

4 mod 8 = 4 (нет)
13 mod 8 = 5 (нет)
22 mod 8 = 6 (нет)
31 mod 8 = 7 (нет)
40 mod 8 = 0 (нет)
49 mod 8 = 1 (нет)
58 mod 8 = 2 (нет)
67 mod 8 = 3 (да!)

Теперь проверим условие по 6:
67 mod 6 = 1 (потому что 66 делится на 6)

Все три условия выполнены, и это первое такое число из списка → значит минимальное.

Ответ: 67