Разбор задач

Задача 1

Условие:
8 деталей, одна тяжелее, весы-качели без гирь. Найти минимум взвешиваний.

Решение (стратегия на 2 взвешивания):

1-е взвешивание

Разделите детали на группы: 3 + 3 + 2.
Взвесьте 3 детали против 3 деталей.

Ситуации:

1. Левая тяжелее → тяжёлая деталь среди этих 3 слева.
2. Правая тяжелее → тяжёлая деталь среди этих 3 справа.
3. Равновесие → тяжёлая деталь в оставшейся группе из 2.

2-е взвешивание

• Если тяжёлая в группе из 3: взвесьте 1 деталь против 1 детали из этой тройки.
  • тяжелее одна → она и есть брак
  • равны → тяжёлая третья (не участвовавшая)
• Если тяжёлая в группе из 2: взвесьте 1 против 1 — кто тяжелее, тот и брак.

Почему 2 — минимум: за 1 взвешивание максимум 3 исхода, а вариантов 8, информации не хватает.

Ответ: 2

Задача 2

Условие:
Встреча в 9:00 (реальное время).
Парень: часы отстают на 3, но он думает, что они спешат на 2.
Девушка: часы спешат на 2, но она думает, что они отстают на 3.
Кто сколько ждал?

Решение:

Парень

Его часы реально показывают: реальное время − 3 мин.
Но он уверен, что часы спешат на 2, значит он мысленно делает поправку: “на моих часах на 2 минуты больше, чем в реальности” → реальное = показание − 2.

Он хочет прийти к реальному 9:00, значит ему нужно, чтобы по его расчёту было 9:00:

показание − 2 = 9:00
показание = 9:02

То есть он придёт, когда его часы покажут 9:02.
Но его часы отстают на 3 минуты, значит в реальности в этот момент: реальное время = 9:02 + 3 = 9:05

Парень пришёл в 9:05.

Девушка

Её часы реально показывают: реальное время + 2 мин.
Но она думает, что они отстают на 3, значит она считает:
реальное = показание + 3.

Она хочет реальное 9:00:

показание + 3 = 9:00
показание = 8:57

Она придёт, когда её часы покажут 8:57.
Но её часы спешат на 2, значит реальное время тогда: реальное = 8:57 − 2 = 8:55

Девушка пришла в 8:55.

Кто раньше и сколько ждал

Раньше пришла девушка (8:55). Парень пришёл в 9:05.
Ожидание: 9:05 − 8:55 = 10 минут.

Ответ: 10

Задача 3

Условие:
100 индикаторов (все выкл). В цикле n переключаются все номера, кратные n. Сколько останется включённых?

Решение (ключевая идея):
Индикатор с номером k переключается каждый раз, когда номер цикла делит k.
То есть число переключений = количество делителей числа k.

• Если переключений чётное число → вернётся в “выкл”.
• Если нечётное → останется “вкл”.

У большинства чисел делители идут парами: (1 и k), (2 и k/2), … → чётное количество.
Но у квадратов есть “непарный” делитель посередине (например, у 36 это 6), поэтому количество делителей у квадратов нечётное.

Значит включёнными останутся только числа-квадраты:

1², 2², 3², …, 10² = 100.

Их ровно 10.

Ответ: 10

Задача 4

Условие:
Некоторые сотрудники работают удалённо. Все сотрудники, которые используют VPN, работают удалённо. Следует ли, что некоторые сотрудники используют VPN?

Решение:
Из “все, кто использует VPN, удалённо” следует только направление:

VPN → удалёнка.

А из “некоторые удалённо” не следует, что среди них есть VPN:
они могут работать удалённо по другой причине (без VPN вообще).

То есть ситуация возможна такая:

• есть удалёнщики,
• но никто не использует VPN, и оба исходных утверждения при этом останутся истинными.

Значит вывод не обязателен.

Ответ: нет

Задача 5

Условие:
Все тестировщики внимательны. Некоторые внимательные люди любят шахматы. Следует ли, что некоторые тестировщики любят шахматы?

Решение:
Имеем: Тестировщик → внимательный.

Но “некоторые внимательные любят шахматы” означает лишь, что где-то есть внимательные шахматисты. Не сказано, что это тестировщики.

Возможна ситуация:

• все тестировщики внимательны, но шахматы не любит ни один,
• при этом есть другие внимательные люди (не тестировщики), которые любят шахматы.

Оба условия выполняются, а вывод — нет.

Значит вывод не следует.

Ответ: нет