Разбор задач
Задача 1
Условие:
Вы показываете числа аудитории, используя только одну руку.
Каждый из 5 пальцев может быть либо зажат (0), либо разжат (1).
Вы хотите показывать числа подряд: 0, 1, 2, 3, …
До какого максимального числа (включительно) можно дойти?
Разбор решения:
Ключевая мысль: каждый палец — это “переключатель” с двумя состояниями: 0 или 1.
То есть один палец даёт 2 варианта.
Два пальца — уже 2×2 = 4 варианта.
Пять пальцев — 2×2×2×2×2 = 2⁵ = 32 варианта.
А теперь важная мелочь: если мы нумеруем числа с нуля, то 32 варианта покрывают числа: 0, 1, 2, …, 31
Потому что это ровно 32 разных числа.
Иными словами:
- минимальное число, которое можно показать — 0 (все пальцы зажаты),
- максимальное — 31 (все пальцы разжаты, если считать двоично).
Ответ: 31.
Задача 2
Условие:
Шахта глубиной 30 м. Каждый день робот поднимается на 18 м, ночью откатывается назад:
- робот 1: откат 12 м
- робот 2: откат 16 м
- робот 3: откат 17 м
Через сколько дней каждый выберется?
Разбор решения:
Первый робот
Откат ночью: 12 метров.
Чистый прирост за полный день:
18 − 12 = 6 метров.
Посчитаем по дням.
День 1
Поднялся до 18 м
Ночью откатился до 6 м
День 2
Поднялся до 6 + 18 = 24 м
Ночью откатился до 12 м
День 3
Поднялся до 12 + 18 = 30 м
Он достиг края шахты и выбрался.
Ночью уже не откатывается.
Ответ: 3 дня
Второй робот
Откат ночью: 16 метров.
Чистый прирост:
18 − 16 = 2 метра.
Считаем.
День 1
18 → ночью 2
День 2
2 + 18 = 20 → ночью 4
День 3
4 + 18 = 22 → ночью 6
День 4
6 + 18 = 24 → ночью 8
День 5
8 + 18 = 26 → ночью 10
День 6
10 + 18 = 28 → ночью 12
День 7
12 + 18 = 30
Достиг 30 — выбрался.
Ответ: 7 дней
Третий робот
Откат ночью: 17 метров.
Чистый прирост:
18 − 17 = 1 метр.
Считаем.
День 1
18 → ночью 1
Каждый следующий день прибавляется всего по 1 метру чистого прогресса.
Фактически к началу дня N он находится на высоте:
N − 1 метров.
Нужно понять, когда:
(высота утром) + 18 ≥ 30
То есть:
(N − 1) + 18 ≥ 30
N − 1 ≥ 12
N ≥ 13
Проверим:
Утром 13-го дня он на 12 метрах.
Поднимается на 18 → 30 метров.
Выбрался.
Ответ: 13 дней
Итог
Первый робот — 3 дня
Второй робот — 7 дней
Третий робот — 13 дней
Задача 3
Условие:
Бактерии растут так, что в конце каждых суток их количество удваивается.
Через 30 суток стакан полностью заполнен.
Во втором эксперименте в пустой стакан положили в 2 раза больше бактерий, чем в первом.
Через сколько суток стакан заполнится во втором случае?
Разбор решения:
Самая важная идея: если рост удваивается каждый день, то “вчера” было ровно в 2 раза меньше, чем “сегодня”.
Если стакан стал полным на 30-е сутки, то на 29-е сутки он был заполнен ровно наполовину.
Теперь во втором эксперименте старт был в 2 раза больше. Это значит, что весь процесс “сдвигается” на один день вперёд: то, что раньше достигалось за 30 дней, теперь достигнется за 29.
Можно сказать ещё проще: удвоение “съедает” разницу в 2 раза за один день.
Ответ: 29.