Разбор задач

Задача 1

Условие (коротко):
Сотрудники стоят в прямоугольной таблице (строки и столбцы).

В каждой строке берём самого высокого → среди них выбираем самого низкого. Это “самый низкий из самых высоких”.
В каждом столбце берём самого низкого → среди них выбираем самого высокого. Это “самый высокий из самых низких”.

По условию это разные люди. Кто выше?

Разбор решения: Тут работает очень простой “зажим” между двумя числами.

Обозначим:

(A) — рост “самого низкого из самых высоких по строкам”.
(B) — рост “самого высокого из самых низких по столбцам”.

Шаг 1. Почему (A >= B) всегда

Возьмём человека из пункта (1) — того, у кого рост (A). Он является самым высоким в своей строке.

Значит в этой строке любой человек имеет рост не больше A.

Теперь посмотрим на столбец, в котором сидит этот человек. В этом столбце есть “самый низкий” (для пункта 2). Обозначим его рост как (m). Очевидно, (m <= A), потому что “самый низкий в столбце” точно не может быть выше какого-то конкретного человека из этого столбца.

А пункт (2) выбирает среди всех таких минимумов по столбцам самый высокий, то есть (B) — максимум среди (m). Раз (m <= A) для столбца нашего человека, то и максимум среди всех этих минимумов тоже не может быть больше A: (B <= A), то есть (A >= B).

Шаг 2. Почему при условии “это разные люди” получается строго (A > B)

Равенство (A = B) возможно только в особом случае: существует человек, который одновременно:

является самым высоким в своей строке и
является самым низким в своём столбце.

Такой человек называется “седловой точкой” в матрице.

Но в условии сказано, что выбранные сотрудники — разные люди, значит такой совпадающей “седловой” ситуации нет. Следовательно равенство невозможно, остаётся строгий вариант: (A > B).

Ответ: первый выше

Задача 2

Условие:
Маршрут 1: туда и обратно по ровной дороге.
Маршрут 2: туда в горку (скорость в 2 раза меньше ровной), обратно с горки (скорость в 2 раза больше ровной).
Длины “туда” одинаковые. Где меньше времени?

Разбор решения: Пусть длина пути “в одну сторону” = L. Пусть скорость на ровной дороге = v.

Маршрут 1 (ровно туда-обратно)

Время туда: L / v Время обратно: L / v Итого: 2L / v

Маршрут 2 (в горку и с горки)

В горку скорость v/2, значит время туда: L / (v/2) = 2L / v

С горки скорость 2v, значит время обратно: L / (2v) = L / (2v)

Итого: 2L / v + L / (2v)

Приведём к общему виду: 2L / v = 4L / (2v)

Тогда сумма: 4L/(2v) + L/(2v) = 5L/(2v)

Теперь сравниваем:

Маршрут 1: 2L/v = 4L/(2v)
Маршрут 2: 5L/(2v)

5L/(2v) больше, чем 4L/(2v), значит маршрут 2 занимает больше времени.

Интуитивно: “медленный подъём” съедает времени больше, чем “быстрый спуск” успевает компенсировать.

Ответ: по прямой

Задача 3

Условие: Ошибка у одного из троих: Коля, Саша, Юра.

Заявления:

Коля: “Виноват Саша.”
Саша: “Я не виноват.”
Юра: “Я тоже не виноват.”

Известно, что ровно один говорит правду, двое лгут.

Разбор решения: Удобнее всего перебрать, кто виноват, и проверить, сколько правдивых фраз получится.

Вариант 1: виноват Саша

Тогда:

Коля говорит правду (“виноват Саша”)
Саша лжёт (“я не виноват”)
Юра говорит правду (“я не виноват”)

Получается 2 правды, а должно быть ровно 1 → не подходит.

Вариант 2: виноват Коля

Тогда:

Коля лжёт (“виноват Саша”)
Саша говорит правду (“я не виноват”)
Юра говорит правду (“я не виноват”)

Снова 2 правды → не подходит.

Вариант 3: виноват Юра

Тогда:

Коля лжёт (“виноват Саша”) (потому что виноват Юра)
Саша говорит правду (“я не виноват”)
Юра лжёт (“я не виноват”)

Получается ровно 1 правда (только Саша) → условие выполняется.

Ответ: Юра